2do CUATRIMESTRE CALCULO DIFERENCIAL.. Teorema de limites y limites por factorización y racionalización
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TEOREMA DE LIMITES
Primero que nada tenemos que saber de donde saca el valor de la x eso no lo entendí al principio es decir que tenemos que ver hacia donde tiende x
como aquí x vale -3 el resultado seria 9 +-3 -6 = 0 seria indeterminado ,
-3 +3 =0
entonces factorizamos para encontrar el resultado
A través de ejemplos estableceremos, sin demostración, algunos teoremas importantes que nos permitirán hacer el cálculo de límites de funciones a mano.
Límite de una función constante
Sea f(x)=k, donde k es una constante. A continuación se muestra el límite de f(x) cuando xa, para a=4.
Por la izquierda
Por la derecha
x
f(x)
x
f(x)
3.75
k
4.25
k
3.9375
k
4.0625
k
3.98437
k
4.01562
k
3.99609
k
4.00391
k
3.99902
k
4.00098
k
Habrás notado que independientemente del valor del número a y de la constante k, el límite es siempre k. Por lo tanto proponemos el siguiente teorema:
Teorema 1: Límite de una función constante.
Límite de una función constante. Sea f(x)=k (constante), entonces:
Lím f(x) =
Lím k =
k
xa
xa
Límite de f(x)=x cuando xa
Sea f(x)=x. A continuación se muestra el límite de f(x) cuando xa, para a=4.
Por la izquierda
Por la derecha
x
f(x)
x
f(x)
3.75
3.75
4.25
4.25
3.9375
3.9375
4.0625
4.0625
3.98437
3.98437
4.01562
4.01562
3.99609
3.99609
4.00391
4.00391
3.99902
3.99902
4.00098
4.00098
La tabla anterior sugiere el siguiente teorema:
Teorema 2: Límite de f(x)=x.
Sea f(x)=x. Entonces:
Lim f(x) =
Lim x =
a
xa
xa
Límite de una función multiplicada por una constante
Sea k una constante y f(x) una función cualquiera. En la siguiente tabla evaluaremos dos límites: en la columna izquierda evaluaremos Lim k f(x) y en la derecha evaluaremos k Lim f(x), ambos cuando x tiende a a=-1. En este ejemplo, k=2 y f(x)=3x-2.
Compara los valores de las dos columnas.
x
[k f(x)]
k [f(x)]
-1.25
-11.5
-11.5
-1.0625
-10.375
-10.375
-1.01563
-10.0937
-10.0937
-1.00391
-10.0234
-10.0234
-1.00098
-10.0059
-10.0059
Como habrás observado, los valores de las dos columnas son iguales. Entonces tenemos el siguiente teorema:
Teorema 3: Límite de una función multiplicada por una constante.
Sea k una constante y f(x) una función dada. Entonces:
Lim k f(x) =
k
Lim f(x)
xa
xa
Límite de una suma, diferencia, producto y cociente de funciones Sean f(x) y g(x) dos funciones cuyos límites existen cuando xa. En la siguiente tabla observaremos los valores de f, g, f+g, f-g, fg y f/g cuando x se acerca a un número a.
En este ejemplo, f(x)=x2+1, g(x)=x+2, a=2
f(x)
g(x)
f(x)+g(x)
f(x)-g(x)
f(x)g(x)
f(x)/g(x)
5.84
4.2
10.04
1.64
24.528
1.39048
5.0804
4.02
9.1004
1.0604
24.4232
1.26378
5.008
4.002
9.01
1.006
20.042
1.25138
5.0008
4.0002
9.001
1.0006
20.0042
1.25014
5.00008
4.00002
9.0001
1.00006
20.0004
1.25001
Observa bien la tabla. Relaciona los límites de f y g con los límites de f+g , f-g, fg y f/g.La tabla sugiere el siguiente teorema:
Teorema 4: Límite de una suma, diferencia, producto y cociente de funciones
Supóngase que
Lim F(x) = L1
y
Lim G(x) = L2
xa
xa
Entonces:
1.
Lim[ F(x)+G(x) ] =
L1 + L2
xa
2.
Lim[ F(x) - G(x) ] =
L1 - L2
xa
3.
Lim[ F(x) G(x) ] =
L1 * L2
xa
4.
Lim[ F(x) / G(x) ] =
L1 / L2
xa
si L2 no es igual a cero
El límite de una potencia
A continuación calcularemos valores de f(x)=xn para n entero positivo conforme xa. En la tabla, a=2 y n=3.
x
xn
an
1.75
5.35937
8.0
1.9375
7.27319
8.0
1.98437
7.81396
8.0
1.99609
7.95322
8.0
1.99902
7.98829
8.0
El resultado anterior sugiere el siguiente teorema:
Teorema 5: Límite de una potencia.
Sea n un entero positivo, entonces:
Lim xn =
an
xa
Los teoremas 4 y 5 tienen como consecuencia los siguientes dos teoremas:
Teorema 6: Límite de un polinomio.
El límite de un polinomio. Sea f(x) una función polinomial, entonces:
Lim f(x) =
f(a)
xa
Teorema 7: Límite de una función racional.
Sea f(x)=p(x)/q(x) un cociente de polinomios, entonces:
Lim f(x) =
p(a)/q(a)
xa
si q(a) no es cero.
Límite de una función que contiene un radical
A continuación calcularemos valores de la raíz-n de x, es decir, x(1/n) conforme xa. Si a>0 entoces n puede ser cualquier entero positivo, pero si a<0, n debe ser un entero impar.En la tabla, a=3 y n=2.
x
x(1/n)
a(1/n)
2.75
1.65831
1.73205
2.9375
1.71391
1.73205
2.98437
1.72753
1.73205
2.99609
1.73092
1.73205
2.99902
1.73177
1.73205
Lo anterior sugiere el próximo teorema.
Teorema 8: Límite de una función que contiene un radical.
Si a>0 y n es cualquier entero positivo, o si a<0 y n es un entero positivo impar, entonces:
Lim x(1/n) =
a(1/n)
xa
El límite de una función compuesta
La inmensa mayoría de las funciones pueden ser vistas como composiciones de funciones más simples. Los teoremas que hemos "descubierto" se refieren a un pequeño grupo de funciones importantes.
Trataremos de intuir las propiedades del límite de una función compuesta (fog )(x) = f[g(x)].
En la próxima tabla, calcularemos valores de g(x) conforme xa, y los compararás con el número f(L), donde L=Lim g(x). En este ejemplo, f(x) = x1/2, g(x) = x2 + 4, y a = 3.
x
g(x)
f[g(x)]
f(L)
2.75
11.5625
3.40037
3.60555
2.9375
12.6289
3.55372
3.60555
2.98437
12.9065
3.59256
3.60555
2.99609
12.9766
3.6023
3.60555
2.99902
12.9941
3.60474
3.60555
La tabla anterior pretende ilustrar que Lim f(g(x))=f(Lim g(x))=f(L). Lo anterior sugiere el siguiente teorema:
Cuando es constate siempre vale =0 Cuando es solo X = 1 La siguiente regla es la de dx =nx -1 y = a x al cuadrado n= 2 y'=2x Cuando es una fracción se mueve a nuestra conveniencia para poder derivarlo cuando es negativo o fracción tenemos que pasarlo a positivo y después convertirlo en raíz. la 5ta regla de derivación primero buscamos u y v después operamos du *v + dv*u ahora si sacamos la respuesta. es importante tener los pasos bien claros y diferenciar u y v. Las reglas de derivación son fórmulas que se utilizan para calcular la derivada de una función. Reglas básicas La derivada de una suma de funciones es igual a la suma de sus derivadas. La derivada de una diferencia de funciones es igual a la diferencia de sus derivadas. La derivada de una función constante es cero. La derivada de un producto de dos funciones es igual a la suma de dos productos. Regla de los cuatro pasos Se determina f (x +...
Estos son los mas difíciles que se me hicieron por la sustitución y cuando aplicarlo. Límites trigonométricos Los límites trigonométricos son una parte fundamental del cálculo y desempeñan un papel crucial en entender el comportamiento de las funciones trigonométricas a medida que se acercan a ciertos valores. Estos límites son esenciales en el análisis matemático y son utilizados en diversas ramas de la ciencia y la ingeniería. Para comprenderlos a fondo, es necesario explorar los conceptos clave asociados con las funciones trigonométricas y cómo se comportan en situaciones límite. Límites trigonométricos Se le denomina limites trigonométricos a los límites que contienen funciones trigonométricas como por ejemplo: Sen(x), Cos(x), Tag(x), entre otras. Para la resolución de estos límites se recomienda evaluar primero, dado un resultado directo, pero en aquellos casos que presenten alguna indeterminación se recomienda aplicar las consideraciones según sea , , 0.∞, ∞-∞,...
Yo entendí aquí que a cada x se le agrega y así es x+h y se le resta la fusión principal ,también usamos el binomio y de allí operamos podemos hacer el binomio largo o corto multiplicando ,en fracción hacemos el sándwiches y en raíz aplicamos el conjugado espero recordar todos los pasos por que son muchos pero como dijo es para ver de donde sale el resultado.. Más información ¿Sabías que...? Cociente incremental Derivadas sucesivas Derivada de una función El concepto de derivada de una función matemática se halla íntimamente relacionado con la noción de límite. Así, la derivada se entiende como la variación que experimenta la función de forma instantánea, es decir, entre cada dos puntos de su dominio suficientemente próximos entre sí. La idea de instantaneidad que transmite la derivada posee múltiples aplicaciones en la descripción de los fenómenos científicos, tanto naturales como sociales. Variación de una función Dada una función f (x), se define variación de ...
a,
a
a
a, para a=4 .
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