DERIVADAS EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

 Este tema vimos una nueva incógnita que fue el EULER O e(^).

y seguimos viendo otras tres reglas 

la de e con un exponente x es igual al mismo

euler elevado ala u es e u x derivada de u

y logaritmo natural es derivada de u' x u.

Derivadas de las funciones básicas

Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales

Objetivos

Obtener por fórmula, la derivada de alguna de las siguientes funciones:

Procedimiento

Para obtener las derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales se sigue la fórmula correspondiente. Las fórmulas se muestran a continuación.

${\displaystyle \frac{d}{dx}lnx={\displaystyle \frac{1}{x}}}$ ${\displaystyle \frac{d}{dx}{e}^x=e^x}$

${\displaystyle \frac{d}{dx}lo{g}_{a}x={\displaystyle \frac{1}{x}lo{g}_{a}e}}$ ${\displaystyle \frac{d}{dx}{a}^x=a^{x}lna}$

La manera de emplearlas se muestra más adelante, en la sección de ejemplos.

Justificación

Obtención de la fórmula de la derivada de ${\displaystyle \frac{d}{dx}{a}^x}$, que en este caso se obtiene mediante derivación implícita.

$$y=a^x$$

Aplicando $ln$ en ambos miembros tenemos

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle lny}& {\displaystyle =ln(a^x)}\\ {\displaystyle lny}& {\displaystyle =xlna}\end{array}$$

y derivando implícitamente queda

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{y}{y}^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =(1)lna}\\ {\displaystyle y^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =ylna}\end{array}$$

Sustituyendo la función inicial, obtenemos la fórmula buscada

$$\frac{d}{dx}{a}^x=a^{x}ln$$

La fórmula de $y=e^x$ se obtiene de manera similar, pero las que incluyen logaritmos se obtienen aplicando la definición con el límite y las propiedades de los logaritmos

referencias//https://matematicaenlinea.com/recursos/wp-content/uploads/2019/04/2.5-Derivadas-de-exponenciales-y-logaritmicas.pdf,,,,,https://prometeo.matem.unam.mx/recursos/Bachillerato/DGEE_DGTIC_IMATE/recursos/3_025/index.html,,https://www.youtube.com/watch?v=-ERPBH3KAPY,,https://matematix.org/derivadas-logaritmicas-y-exponenciales/